Il paradosso del barbiere

Bertrand Russell, (1872-1970), filosofo, logico, matematico e divulgatore è stato una delle menti più eccelse del ventesimo secolo. Pacifista e antimilitarista, alla sua attività accademica e intellettuale affiancò sempre un grande impegno civile e un’autentica passione per la divulgazione sia in campo scientifico che filosofico.

L’antinomia di Russell

Tra il 1901 e il 1902, Russell formulò il paradosso che prese il suo nome, una delle antinomie più importanti della storia della filosofia e della logica. La Treccani definisce l’antinomia come la contraddizione, reale o apparente, fra due leggi o disposizioni di legge, fra due concetti, fra due tesi, fra un principio e un altro di una scienza.

L’antinomia di Russell può essere enunciata come «L’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi appartiene a se stesso se e solo se non appartiene a se stesso.». Come si evince si tratta più di un’antinomia che di un paradosso, in quanto quest’ultimo è una conclusione logica e non contraddittoria che si scontra con il nostro modo abituale di vedere le cose, mentre un’antinomia è una proposizione che risulta autocontraddittoria sia nel caso che sia vera, sia nel caso che sia falsa.

L’esempio del barbiere

Per spiegare in modo più semplice e intuitivo questa antinomia Bertrand Russell utilizzò il cosiddetto “paradosso del barbiere“. Il grande intellettuale britannico affermò che l’idea gli era stata suggerita ma non rivelò mai da chi. L’antinomia del barbiere può essere così enunciata:

“In un villaggio vi è un solo barbiere, un uomo ben sbarbato, che rade tutti e solo gli uomini del villaggio che non si radono da soli. La domanda è: il barbiere si fa la barba da solo?”.

Basta riflettere attentamente per qualche secondo per capire che questo “paradosso” non ha soluzioni, ma procediamo con ordine. Se il barbiere si radesse da solo, verrebbe contraddetta la premessa secondo cui il barbiere rade solo gli uomini che non si radono da soli. Se invece il barbiere non si radesse autonomamente, allora dovrebbe essere rasato dal barbiere, che però è lui stesso: in entrambi i casi si cade in una contraddizione.

Infatti la popolazione maschile del villaggio può essere divisa in due distinti insiemi: gli uomini che si radono da soli e quelli che sono rasati dal barbiere. Il punto è che in qualunque categoria cerchiamo di includere il barbiere la situazione sarebbe contraddittoria. Il barbiere è un insieme che appartiene a se stesso se e solo se non appartiene a se stesso.

La variante del bibliotecario

Si tratta come avrete capito di una dimostrazione per assurdo tesa a dimostrare che non possono esistere barbieri con le caratteristiche dell’enunciato. Un’altra variante del paradosso di Russell è quella conosciuta come “il paradosso del bibliotecario“. Essa recita così:

“Al responsabile di una grande biblioteca viene affidato il compito di produrre gli opportuni cataloghi. Egli compie una prima catalogazione per titoli, poi per autori, poi per argomenti, poi per numero di pagine e così via. Poiché i cataloghi si moltiplicano, il nostro bibliotecario provvede a stendere il catalogo di tutti i cataloghi. A questo punto nasce una constatazione.

La maggior parte dei cataloghi non riporta se stessa, ma ve ne sono alcuni (quali il catalogo di tutti i volumi con meno di 5000 pagine, il catalogo di tutti i cataloghi, ecc.) che riportano se stessi. Per eccesso di zelo, lo scrupoloso bibliotecario decide, a questo punto, di costruire il catalogo di tutti i cataloghi che non includono sé stessi. Il giorno seguente, dopo una notte insonne passata nel dubbio se tale nuovo catalogo dovesse o non dovesse includere se stesso, il nostro bibliotecario chiede di essere dispensato dall’incarico.”

Per saperne di più:

Bertrand Russell