domenica, Aprile 21

La matematica dei greci

Il  contributo dei Greci alla  matematica fu semplicemente straordinario. Essi presero qualcosa dall’Egitto ed in misura minore  da Babilonia, ma l’arte della dimostrazione matematica fu tutta  opera dell’ingegno ellenistico. L’anedottica in questo campo  è sterminata ed aiuta a capire  il metodo deduttivo applicato allo sviluppo della  matematica e della  geometria dai greci. 

Prendiamo,  per  esempio, Talete durante  un  soggiorno in Egitto, gli fu chiesto di misurare la piramide  di Cheope senza salirci sopra. Il filosofo, matematico ed astronomo di Mileto (  640 a.C./625 a.C. circa – 548 a.C./545 a.C. circa) ebbe   una brillante intuizione. 

Egli si accorse, infatti, che la lunghezza di un’ombra proiettata sul terreno dipende dall’altezza dell’oggetto che l’ha originata secondo una relazione matematica ben precisa. In particolare, se si confrontano le ombre di due oggetti diversi, queste stanno tra loro come le altezze degli oggetti corrispondenti:

lunghezza ombra 1 : lunghezza ombra 2 =  altezza oggetto 1 : altezza oggetto 2

Conoscendo l’altezza di un’asta usata per il confronto e prendendo spunto dall’altezza  della  propria ombra nel momento in cui essa coincideva  con la lunghezza del  corpo di Talete,  egli  fu in grado di determinare l’altezza della piramide. Un altro dei problemi che occuparono per lungo tempo l’elaborazione dei greci fu quello della  duplicazione del  cubo. Questo problema è giunto a noi sotto forma di mito.  Narra Teone di Smirne, citando Eratostene,  che gli abitanti di Delo, avendo interrogato l’oracolo di Apollo sul modo di liberarsi dalla peste, avessero ricevuto l’ordine di costruire un altare, di forma cubica, dal volume doppio rispetto a quello esistente.

Pensando che fosse bastevole raddoppiare le dimensioni dell’altare si accorsero ben presto che con  questo procedimento avrebbero ottenuto  un manufatto  otto volte più grande e dopo secoli di studio pervennero a risolvere  la  radice quadrata di 2, il  primo numero  irrazionale.  La radice quadrata di 2 era già nota ai primi pitagorici e furono trovati  metodi  ingegnosi per migliorare l’approssimazione del  suo valore. Pitagora fu  il  primo a fare della geometria  uno  studio  liberale.  A lui viene fatto risalire quello che modernamente conosciamo come teorema di Pitagora. 

In realtà il suo enunciato (ma non la sua dimostrazione) era già noto  ai babilonesi, ed era conosciuto anche in Cina  e sicuramente  in  India, come dimostrano molte scritture fra cui lo Yuktibhāṣā e il Baudhāyana Sulbasūtra. La dimostrazione del teorema è invece con ogni probabilità successiva a Pitagora.

Altri numeri irrazionali, oltre alla  radice quadrata  di 2, furono studiati da Teodoro un contemporaneo di Socrate e da Teeteto, un contemporaneo di Platone,  ma molto  più anziano del filosofo di Atene.

Una delle conseguenze  più importanti dei numeri irrazionali fu la  scoperta della trattazione della teoria  geometrica delle proporzioni da parte di Eudosso (nato a Cnido, 408-355 a.C.) questa teoria sarà ripresa negli Elementi di Euclide e in sostanza consente di trattare rigorosamente i numeri reali pensati come rapporti di grandezze.   Prima  di lui esisteva soltanto la teoria  aritmetica delle  proporzioni. 

Eudosso perfezionò  inoltre il metodo  di esaustione, esso si dimostrò fondamentale per risolvere sia il problema del confronto delle superfici di figure a contorni curvilinei e rettilinei sia il problema della quadratura del cerchio, cioè la ricerca di un quadrato di area uguale a quella del cerchio (considerando i poligoni inscritti nel cerchio di due, quattro, otto, n lati e pensando che la superficie del cerchio venisse così ad “esaurirsi” in quanto era possibile inscrivere in essa un poligono i cui lati, per la loro piccolezza, avrebbero dovuto coincidere complessivamente con la frontiera del cerchio). 

Euclide visse ad Alessandria intorno al 300 avanti Cristo, pochi anni  dopo la morte di Aristotele ed Alessandro  Magno. A lui  si deve il formidabile  trattato di geometria Elementi uno  dei più importanti libri scritti  dagli antichi greci,  un vero e proprio monumento del pensiero ellenistico.

C’è  in Euclide il disprezzo  per  l’utilità pratica dei costrutti geometrici, influenzato in tal  senso da Platone.  Si racconta che un giorno, un suo  allievo  al termine di una dimostrazione del  maestro,  gli  chiese cosa  avrebbe  guadagnato se avesse  imparato  perfettamente la geometria.  A quel punto  Euclide chiamo uno  schiavo e ordinò con malcelato disprezzo: “Dai al  giovane tre soldi, giacché deve comunque trarre un guadagno da  ciò  che  apprende”.

I  Romani non si entusiasmarono per   la geometria euclidea tanto che il  primo che ne parla  è  Cicerone, mentre gli Arabi lo apprezzarono enormemente: una copia  degli Elementi venne  regalata  al Califfo  dall’Imperatore bizantino nel  760 d.C. e venne tradotta  in arabo nel  1120 d.C.  Soltanto da allora  l’interesse per lo studio della  geometria in Occidente ebbe un timido risveglio fino agli sviluppi più significativi durante il  Rinascimento. 

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